天殺流體力學!物理學當中最難纏的研究項目

最難纏的物理理論

物理學中包含瞭大量公式,它們描繪著物理學的種種現象,從宏觀時空的延展到微子的碰撞。在所有這些公式中,有一組公式在上也極具挑戰性,甚至被美國克雷數學研究所選作七個“千禧年大獎難題”之一,與龐加萊猜想、P=NP?等數學界的頂級難題並列,解決該問題的獎金高達100萬美元。而這個物理界最難的公式,就是用於描述流體運動的納維-斯托克斯方程。

 

最近,一項關於納維-斯托克斯方程的最新研究得以發表。某種程度上,新的研究成果說明攻克這項千禧年大獎難題比預想的還要困難。為什麼用闡明這組方程是如此困難,甚至相比之下,用於描述奇特黑洞的愛因斯坦場方程都顯得更容易一些?

天殺流體力學!物理學當中最難纏的研究項目
天殺流體!物理學當中最難纏的研究項目

難以捉摸的湍流

湍流,就是答案。這是一種再常見不過的現象。無論是在3萬英尺高空飛行時顛簸的,還是傢裡浴缸出水口形成的漩渦,本質都是湍流。然而,熟悉的湍流卻是物理世界中最難以理解的部分之一。

 

一條平穩流動的河流,是一個典型的無湍流體系,河流的每一部分以相同的速度運動。湍流則打破瞭這一規律,使得水流不同部分的運動方向和運動速率都不相同。物理學傢將湍流的形成描述為:首先,平穩流動中出現一個渦流,這個渦流中會形成更多小渦流,小渦流進一步分化,使得流體被分解成許多離散的部分,在各自運動方向上與其他部分相作用。

 

科學傢們希望理解的是,平流如何一步步瓦解成為湍流、已產生湍流的體系之後的形狀是怎樣演變的。但千禧年大獎懸賞的是更為簡潔的問題:證明方程的解總是存在。換句話說,這組方程能否描述任何流體,在任何起始條件下,未來任一時間點的情況。

 

“第一步就是要盡力證明這些方程可以產生一些解,”來自普林斯頓大學的數學傢Charlie Fefferman說道,“盡管這並不能讓我們真正理解流體的行為,但不這樣做,就完全無法入手這個難題。”

 

如何證明那些解存在呢?首先可以考慮方程在什麼條件下會“無解”。納維-斯托克斯方程組涉及流速、壓力等物理量的變化。數學傢們關心的這樣的情況:你在運算這組方程,經過有限的時間,系統中出現一個以無限速度運動的粒子。那樣就會很麻煩:對於一個無限大的量,我們無法計算出它的變化。數學傢們把這種情況稱為“發散”(blowup)。在“發散”的情況下,方程失效,解也就不復存在。

 

納維-斯托克斯方程

 

證明“發散”的情況不會發生(或者說方程解總是存在),等同於證明流體中任何粒子的最大運動速率,被限制在某一有限的數值之下。相關物理量中,最重要的量是流體中的動能。

 

當我們用納維-斯托克斯方程對流體建模,流體會具有一定初始能量。但是在湍流中,這些能量會聚集起來。原本均勻分散在流體中的動能,可能會聚集在任意小的渦流中,那些渦流中的粒子在理論上可以被加速到無限大的速度。

 

“當我的研究進入越來越小的尺度,動能對於方程解的控制作用則越來越弱。解可以是任意的,但我不知道如何去限制它。” 普林斯頓大學的Vlad Vicol說到,他和Tristan Buckmaster合作完成瞭有關納維-斯托克斯方程的最新工作。

 

根據方程失效的尺度,數學傢們對像納維-斯托克斯這樣的偏微分方程進行分類。納維-斯托克斯方程就處於分類譜系的極端。這組方程中的數學難度,某種意義上精確地反映出其所描述湍流體系的復雜程度。

 

“在數學角度看,如果你將某一點放大,那麼就會失去解的部分信息,”Vicol解釋說,“但是湍流的研究恰恰就是這樣——動能從宏觀傳遞向越來越小的尺度。所以,湍流的研究要求你不斷地放大。

 

當談及物理背後的,我們很自然地會想到:這會不會給我們研究物理世界的方式帶來變革?納維-斯托克斯方程和千禧年大獎引出的答案既是肯定也是否定的。經過近200年的實驗,這些方程確實有效:由納維-斯托克斯方程預測的流體流動與實驗中觀察到的流動總是相符的。如果你是一位物理學傢,實驗中這樣的一致性或許已經足夠。但數學傢需要的更多——他們想要確定這組方程是否具有普遍性,想要精確捕捉流體的瞬時變化(無論何種初始條件),甚至去定位湍流產生的那個起點。

 

Fefferman說:“流體行為的詭譎總是令人驚嘆。而那些行為理論上可以用這組基本方程來解釋。它能很好地描述流體的運動。但是從方程描述流體運動到描述任意流體的真實運動,這一過程仍然未知。”